Peras o manzanas, cuota o plazo.

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29 septiembre 2008

Cuando era un renacuajo, mi profesora de matemáticas me inculcó que jamás debía sumar peras con manzanas. Aparentemente es una obviedad casi insultante, pero por lo visto hay mucha gente que entiende el ejemplo pero no asimila el concepto. Este mismo concepto fue repetido por el profesor de matemáticas financieras varios años mas tarde en la universidad. «No se pueden sumar peras con manzanas igual que tampoco se puede sumar dinero de hoy con dinero de mañana»

Si te ofrecen 50€ al mes durante 3 meses,¿cuanto tienes hoy? ¿150€?
¿Que prefieres 100€ hoy o 100€ mañana? Parece claro que hoy, por lo que valen mas 100€ hoy que 100€ mañana.

Los capitales no se pueden sumar ni comparar si no están en el mismo momento en el tiempo y para conseguir este movimiento, debemos aplicar una tasa de descuento (precio de diferir capitales en el tiempo), que fijaremos según nuestro criterio, pero suele usarse lo que te costaría pedirlo prestado a un banco (Euribor + diferencial).

Entonces, cuanto vale hoy la renta (conjunto de pagos) del ejemplo de 3 pagos de 50€ si el primer pago se hace hoy. Pongo como tasa de descuento 5% (0.42% mensual).

El primer pago vale hoy 50€
El segundo pago vale hoy 49.79€ → [50/(1.0042)] (50€ un mes hacia atrás)
El tercer pago vale hoy 49.58€ → [50/(1.0042)²] (50€ dos mes hacia atrás)

El valor hoy de una renta de 3 pagos mensuales de 50 euros con pago a inicio de periodo (prepagable) es de 149.37€. Aparentemente este no es una diferencia desorbitada, pero el efecto del tiempo aumenta estas diferencias.

Si quisiera sumar 50€ de hoy y 50€ dentro de un año, vería que los 50€ de hoy valen 50€ y los de dentro de un año, valen hoy 47.61€ [50/(1.05)], con lo que los aparentes 100€ valen en realidad 97.61€ (hoy). También es verdad esta misma renta de 2 pagos de 50€, dentro de un año va a valer 102,50€ [50+50×1.05].

Los capitales al moverlos hacia el futuro aumentan y al moverlos hacia el pasado disminuyen a razón de (1+r)n, donde «r» es la tasa de descuento y «n» el número de periodos.

Estos simples ejemplos no pretenden ser un curso acelerado de matemáticas financieras, tomadlo como una demostración de que no se pueden sumar peras con manzanas para que nadie tome como un acto de fe el razonamiento que comentaré a continuación. La fe para la religión, para todo lo demás, hechos y números. ¿Hasta aquí todos de acuerdo? Pues agárrense que vienen curvas, retomo el tema ¿cuota o plazo?

Ejemplo, pregunta típica del blog:
-Tengo una hipoteca con 150.000€ pendientes y 25 años por pagar y voy a amortizar 6.000€. (Euribor + 0.50). ¿Contra cuota o contra plazo?

Ejemplo de respuesta típica del blog:
-Con un Excel que tengo me sale que pagas una cuota de 867.21€.
Si amortizas a plazo te ahorraras 22 cuotas y media o sea 19.446,54€ (867*22+499)
Si amortizas a cuota pagaras 832.52€ que significa un ahorro de 34.69€ x 300 cuotas =10.407€
Por lo tanto amortiza a plazo que te sale 9.000€ mejor!!!

La pregunta es recursiva y cansina en el blog, pero la respuesta es un desastre financiero, sumando manzanas, peras y kiwis y comparándolo con la suma de un manojo de apios y unas naranjas washingtonas.

En el caso de la amortización a plazo, esos 19.446€ están mal sumados, pero dentro de lo que cabe están cercanos en el tiempo (casi 2 años entre el primero y el ultimo, pero podríamos darlo por «no muy erróneo»), pero lo grave es que no se tiene en cuenta que, de media, son dentro 24 años.

En caso de reducción de cuota, se están sumando los 34.69€ que dejamos de pagar hoy con los 34,69 € que dejaremos de pagar dentro de 25 años en la ultima cuota, que capitalizados a fecha de hoy vendrían a tener un valor de 10,28€.

La respuesta correcta es:

Amortizar 6.000€ a plazo es equivalente al valor con fecha de hoy de una renta formada por un pago de 367€ dentro de 23 años y 2 meses, seguido de 22 pagos mensuales de 867.21€, ¿verdad?… Es decir, yo doy hoy 6.000€ a cambio de que dentro de 23 años y dos meses empezare a cobrar (dejaré de pagar una obligación que tengo) dicha renta.

Amortizar 6.000€ a cuota es equivalente a obtener una renta mensual de 34.69€ durante 300 meses.¿OK?…

¿Todos de acuerdo? Pues vamos ha hacer los cálculos del valor actual de estas rentas a fecha de hoy para saber que nos conviene y salimos de dudas de una vez por todas.

CÁLCULOS A PLAZO

Primero llevo los 23 pagos al fin del mes 300 para ponerlos todos en un mismo punto en el tiempo. (Existe una formula, pero se puede hacer con Excel sin mas problemas).

367€ x 1,0040741²²=401.34€
867€ x 1,0040741²¹=944.51€
867€ x 1,0040741²⁰ =940.68€
867€ x 1,0040741¹⁹=936.86€
……
867€ x 1,0040741⁰¹=870.74€
867€ x 1,0040741⁰⁰=867.21€

Suman 20.318,71€ y ahora traigo este capital 300 meses hacia atrás en el tiempo para conocer su valor actual.

20.318,71/(1,004074123)³⁰⁰ = 6.000,17€ (¿que casualidad no?)

CÁLCULOS A CUOTA

Calculamos el valor actual de una renta de 300 pagos mensuales de 34.69€

(para aclaraciones)

El valor actual de esta renta es de 6.003,27.

CONCLUSIONES:

Hagas lo que hagas, dejas de deber lo que amortizas, y el valor actual de lo que amortizas es el importe que amortizas (tan insultantemente evidente como lo de las peras y las manzanas ¿verdad?), o sea que no hay opción mejor ni peor, en todo caso podremos decir que preferimos una u otra, pero eso ya son consideraciones subjetivas.

Financieramente, se puede asimilar una amortización anticipada como el «trueque» de un importe determinado hoy (6.000€) a cambio del ahorro mañana de varios importes diferidos en el tiempo (ya sean 34,69€ al mes durante 25 años o 22 pagos mensuales de 867€ dentro de 23 años).

Consideraciones posteriores:

Si tomásemos otra tasa de descuento distinta al Euribor+0.50, el resultado seria otro número, pero sería el mismo tanto para cuota como para plazo si la tasa de descuento es constante. La otra tasa podría ser lo que nos paga el banco en un depósito, para saber lo que mas nos conviene.
Si considerásemos que el tipo pudiese variar (que es lo que va a pasar aunque supongo que tenéis claro que no sabemos hacia donde), entonces si que podría ser mas beneficiosa una estrategia que la otra, ya que la estructura de pagos de las dos rentas es distinta, en una se producen todos al final, y en la otra se producen de forma regular durante toda la vida de la renta.
- a) En un escenario de tipos al alza (durante toda la vida de la operación) seria mejor amortizar contra cuota, ya que los importes entregados al final, al aplicarles una tasa de descuento mas elevada tendrían un valor actual inferior, entonces la amortización a plazo, que da sus frutos al final de la operación tendría un valor actual menor.
- b) En un escenario de tipos decrecientes, nos interesará reducir contra plazo, ya que la capitalización de los pagos lejanos se hará con un tipo de descuento menor, por lo tanto la renta equivalente estará menos penalizada y dará un valor actual mayor.

Lo mas probable es que la variación de tipos sea creciente en algunos periodos y decreciente en otros (25 años dan para mucho), por lo que no conseguiremos saber que nos sale mejor hasta que haya terminado la operación. Así demostramos una vez mas que la economía y las finanzas son una pseudo-ciencia que va muy bien para «predecir» el pasado, pero que para el futuro mejor llamar a la pitonisa Lola.

Toda esta explicación parece que hunde en la miseria la tabla Excel de control presupuesto familiar que os propuse hace dos semanas, pero a pesar de que suma manzanas con peras, la podemos dar por valida, ya que se trata periodos inferiores a un año, y tiene ingresos y gastos, y todos re reducen al actualizar su valor, por lo que el desfase causado por el efecto tiempo solo afecta al diferencial entre estos. (se reducen los ingresos pero también se reducen los gastos en la misma proporción al capitalizar)

Y para terminar e intentar deducir si los tipos subirán o bajarán en un futuro, si nos conviene ahorrar o amortizar o simplemente para quitarnos algo de incertidumbre, que mejor que leer las noticias del día.

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PapaPitufo

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